直交する放物線の軸が $x$ 軸, $y$ 軸に平行になるように座標軸を設定すると, 放物線の方程式は $py=x ^ 2+ax+b,$ $qx=y ^ 2+cy+d$ と表される. 共有点を $4$ つ持っているので, $$Q = \dfrac{ (q-a) ^ 2}{4} + \dfrac{ (p-c) ^ 2}{4} - b - d$$ とおくと, $$\left(x-\dfrac{q-a}{2}\right) ^ 2+\left(y-\dfrac{p-c}{2}\right) ^ 2=Q$$ を満たす $(x,y)$ が $4$ 組存在する. $Q \leq 0$ であると $1$ 組以下しか存在しないことになるので $Q \gt 0$. よってこれは $$\left(\dfrac{q-a}{2},\dfrac{p-c}{2}\right)$$ を中心とする半径 $\sqrt{Q}$ の円を表し, $4$ つの共有点はこの円において同一円周上にある.
