数列 $\lbrace (ak+b)r ^ k\rbrace$ (ただし $r\neq1$ とする) の和 $$S _ n=\sum _ {k=1} ^ n(ak+b)r ^ k$$ を求めることをよく考える機会があります. 一般的には「公比を掛けて差を取る」という方法が紹介されていますが, これは添字の管理が非常に (特に高校数学は 1-based なので) ややこしく, むしろ望遠鏡和と呼ばれる手法*1を用いるのが計算ミスも少なく済みます.
今もし
$$(ak+b)r ^ k=F(k+1)-F(k)$$
なる関数 $F(k)$*2 が見つかれば
$$S _ n=F(n+1)-F(1)$$
が成り立ち, 非常にスムーズかつ安全に計算を実行できます. というわけで早速どうやって見つけようか考えてみると, 一意性だとかを考える必要はなく「とにかく見つけたもん勝ち」の世界であるので $F(k)=(\alpha k+\beta)r ^ k$ という形だと考えてみましょう.
$$\begin{aligned} (ak+b)r ^ k &=F(k+1)-F(k)\\ &=(\alpha(k+1)+\beta)r ^ {k+1}-(\alpha k+\beta)r ^ k\\ &=(\alpha(r-1)k+(\alpha r+\beta(r-1)))r ^ k \end{aligned}$$
比較して
$$\begin{cases} a=\alpha(r-1)\\ b=\alpha r+\beta(r-1) \end{cases}$$
であり, 計算すると
$$\begin{cases} \alpha=\dfrac{a}{r-1}\\ \beta=\dfrac{-ar+b(r-1)}{(r-1) ^ 2} \end{cases}$$
を得ます. したがって
$$F(k)=\frac{1}{r-1}\left(ak+b-\frac{r}{r-1}a\right)r ^ k$$
となったので実質的に $S _ n$ は求められたことになります. 一般形は無駄に複雑に見えるので実際の数値を代入して考えてみるのがよいでしょう.
改題1の答えは $4010$, 改題2は $\dfrac{27}{32}-\dfrac{24n+27}{32}\cdot\dfrac{1}{9 ^ n}$, 改題3は $\dfrac{3n+2}{9}\cdot4 ^ {n+2}-\dfrac{32}{9}$ です.
*1:この用語は望遠鏡和 - INTEGERSに準拠したものであり, 受験数学では「和の中抜け」とガラパゴス的に呼ばれています. 何やらテクニカルすぎるものを想定してしまうかもしれませんが, この計算自体は呼吸のように用いるテクニックであり, 今までそれに統一的な名前が付けられ普及していなかったというだけに過ぎません.
*2:このような $F(k)$ の背後にある理論については数列の和/差の体系的理解 ～離散量の微分積分学～ - 666 feet underが詳しいです.
