数年前に見た 2ch のスレを思い出しました。
現代数学のメインストリームたる代数幾何学の名著、ハーツホーンの定理 2.7.6 が話題になっています。
$X$ を Noether 環 $A$ 上の有限型のスキームとし, $\mathscr{L}$ を $X$ 上の可逆層とする. このとき $\mathscr{L}$ が豊富であるのはある $m > 0$ に対し必ず $\mathscr{L} ^ m$ が $\operatorname{Spec} A$ 上非常に豊富であるとき, またそのときに限る.
おそらく本職の人がコメントしていたので引用しておきます。
楽勝やん、$\mathscr{L} ^ m$ が $\operatorname{Spec} A$ 上に非常豊富なら $\mathscr{L}$ は $X$ 上に豊富なんだろ
代数幾何学の言葉にするから厄介なんだよ。
$\mathscr{L}$ をコンパクト複素多様体 $X$ 上の正則なラインバンドルとする。 ある $\mathscr{L}$ の計量 $h$ が存在して $c _ 1 (\mathscr{L}, h) > 0$ となる事とある $N$ が存在して $X \to P(H ^ 0(X, \mathscr{L} ^ N))$ が埋め込みとなる事は同値
といえばしっくりくる
$c _ 1(\mathscr{L}, h)$ は $(\mathscr{L}, h)$ 上の Chern 接続の曲率 $R(\mathscr{L}, h)$ を $\sqrt{-1}/2\pi$ 倍した $(1, 1)$ 形式
$P(\sim)$ はベクトル空間 $\sim$ から出来る射影空間
