π=3

all-for-nothing.com

上の記事に書き忘れたこととして、『収穫と蒔いた種と』の第二部に「円積問題」という良い話が載っていることがありました。辻氏の訳には少し不明瞭な部分があるので、これも拙訳ですが紹介しておきます。

no 69(四月二十七日)十一、二歳のころ、(マンドの近くにある)リュクロの強制収容所に監禁されていたときに、コンパスで図を描く遊びを発見しました。特に、コンパスの開きを円周上に六回移していって出発地点にぴったりと戻して、円周を六つの等しい部分に分けることにより得られる、六つの枝を持ったバラ模様に魅了されました。このように実験に基づいて確認することで、円周の長さは半径のちょうど六倍に等しいのだと確信しました。

訳注seed of life
その後に(最終的に通学することになったマンドの高校でだと思いますが)、この関係が教科書の中ではさらにずっと複雑なものとみなされており、$\pi=3.14\dots$ に対して $\ell=2\pi R$ となるのだと書いてあるのを見ました。そのとき、この本は間違っており、著者は(そして古代からの先人もおそらく!)単純に $\pi=3$ であることを明白に示す非常に単純なこの作図をしたことがないに違いないと確信しました。典型的な話ですが、私が(弧の長さとその端点を結ぶ弦の長さを混同していたことが原因で)間違っていたのだと気付いたのは、ある人(私に無償で数学とフランス語の特別授業をしてくれた監禁中のマリア)になぜ $\ell=6R$ となるのかをまさに示そうとする瞬間、先人が無知であったことに驚いたのだと打ち明けようとしたときでした。

この自信は、子供が学校で習ったことや本で読んだことを鵜呑みにするのではなくむしろ自分の能力を信頼することで抱ける自分自身の知性への自信であり、貴重なものです。しかしながら、これは常に周囲から横槍を入れられるものなのです。多くの人は、私がここで挙げた経験が、一般常識に頭を下げなければならないのに子供じみた自惚れに浸ってしまい、最後には客観的事実によって一種の滑稽さが明らかになってしまうことの一例だと考えるでしょう。しかし、私がこの出来事を体験したとき、落胆や滑稽さを感じることはまったくなく、むしろ($\pi=3$ という間違った式で早合点してしまった後の)新しい発見のようなものを感じました。つまり、これは間違いであると同時に、弧の長さは二つの端点を結ぶ弦の長さよりも明らかに長いので、$\pi>3$ でなければならないのだと感じたのです。この不等式は私が拒否していた $\pi=3.14\dots$ という式と整合的でもあったので、途端に理に適っているように見えました。同時にそのとき、おそらくそれほど馬鹿ではない人々がいて、この問題を詳しく調べたに違いないだろうと漠然ながら理解したはずです。その瞬間、私の好奇心は満たされ、これだけに一つの文字を充てるほど重要な(のだと信じるしかありませんでしたが)$\pi$ という数について微に入り細に入りもっと詳しく知りたいと思ったような記憶もありません*。

これはおそらく、「私自身の知性が世間一般で認められている知識と矛盾するようなときにはその状況を注意深く検討するに値するかもしれない」というある種の慎重さを私に教えてくれた最初の経験の一つでしょう。慎重さとは経験の賜物であって、何かを知ったり発見したりする自分自身の能力に抱く自然な信頼や、その私たちの中にある力を原始的に認識することによって備わる自信に(変わることなく)結びついてそれらを補い完全なものにするのです。

*(四月二十八日)これまでの想起によって他にも思い出を遡ることになりましたが、それによるとこの有名な $\pi$ という数には、私が最初に思い出した以上に興味を抱いていたようです。(おそらく同じ)本で見つけた $344/133$[訳注:これは $2.58\dots$ であり、正しくは密率 $355/113$ であろう]という近似値は印象的で、近似にすぎないのだとは到底信じ難いほどに綺麗な値でした! 当時は分数しか知らなかったので、$\pi$ を表す既約分数の分子と分母はどのようなものなのだろうか、さぞかし素晴らしい数なのだろう! と興味をそそられました。もちろん、このような円積問題についての子供っぽい考察にあまり進展が見られなかったのは言うまでもありません。