ベクトル裏ワザ集

数学

高1のときに同級生向けに作ったプリントを発掘したので記念にブログに直しておきます. 表現は原文ママなので甘い目で見てください.

あまり知らない人がやるとヤケドします. ご利用は計画的に.

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\3\\2\end{array}\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array}\right)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.

一本だけ求めて終わるミスを犯してしまうことが非常に多い！ 両方に垂直なベクトルは, その外積と逆ベクトルとであることに注意すると, 簡単な計算より $$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4 \cr -4 \cr 4\end{array}\right)$$ となり, 単位ベクトルである必要があるから, $$\frac{1}{4\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}\pm 4\cr\mp 4\cr\pm 4\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}\pm 1\cr\mp 1\cr\pm 1\end{array}\right)$$ となる (複号同順).

$A=\left(\begin{array}{c}3\\2\\4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}3\\-1\\1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{c}5\\3\\-3\end{array}\right)$ とする. $\triangle{ABC}$の面積を求めよ.

ここで$\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}| ^ 2|\overrightarrow{AC}| ^ 2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}) ^ 2}$とすると, たしかに計算はいささか簡単かもしれないし, 式自体も非常に自明ではあるものの, やっぱり式の形はキモチワルイ. そこで外積の性質：外積の大きさは, そのベクトルが張る平行四辺形の面積に等しいを使えばよろしい. なぜならばこれを半分にすれば三角形の面積になるからだ. すなわち, $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$を求めればよい. 計算量としては変わらないかもしれないが, 外積の意味をわかっていればこっちのほうが自然だと思える.

補題1. $(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a}=0$, $(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0$
証明. 容易.
定理2. $\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$ とする. このとき直線 $\ell\colon \overrightarrow{p}=\overrightarrow{x_0}+t\overrightarrow{a}$, $m\colon \overrightarrow{p}=\overrightarrow{x_1}+t\overrightarrow{b}$ の距離は$$\frac{|(\overrightarrow{x_0}-\overrightarrow{x_1})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})|}{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}$$
証明. $\ell$ 上の点 $p_0$, $m$ 上の点 $p_1$ を, 線分 $p_0 p_1$ が距離を最小にするようにとる. すなわち $\ell$ と $m$ の距離が $|\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1}|$ となるわけである.
このとき, ある実数 $t_0$, $t_1$ が存在して, $\overrightarrow{p_0}=\overrightarrow{x_0}+t_0\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{p_1}=\overrightarrow{x_1}+t_1\overrightarrow{b}$と表せる. ここで初等幾何的な性質：「直線 $\ell$, $m$ のどちらとも直交する線分が距離を最小にする」を認めることにすると, ある実数 $k$ が存在して, $$\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1}=k(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$$が従う.
したがって, $$\begin{aligned} |\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1}|&=\frac{(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1})\cdot(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1})}{|\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p_1}|}\\ &=\frac{(\overrightarrow{x_0}+t_0\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x_1}-t_1\overrightarrow{b})\cdot(k(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}))}{|k(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})|}\\ &=\frac{k(\overrightarrow{x_0}-\overrightarrow{x_1})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})}{|k||\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|}\\ &=\frac{|(\overrightarrow{x_0}-\overrightarrow{x_1})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})|}{|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|} \end{aligned}$$ ただし3行目で補題1と内積の性質を適宜用いた.

授業のプリントから問題を解いてみよう.

点 $A(3,1,0)$ を通り $\overrightarrow{a}=(1,-1,-1)$ に平行な直線を $\ell$, 点 $B(3,-1,2)$ を通り $\overrightarrow{b}=(2,-1,0)$ に平行な直線を $m$ とする. 点 $P$ は直線 $\ell$ 上を, 点 $Q$ は直線 $m$ 上をそれぞれ勝手に動くとき, $P$, $Q$ 間の距離の最小値を求めよ.

$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-1\cr -2\cr 1\end{array}\right)$ より, 上の式に代入するだけで即座に $\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$ が従う.

定義3. (行列式) $\det\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}=y_1z_2x_3+z_1x_2y_3+x_1y_2z_3-z_1y_2x_3-x_1z_2y_3-y_1x_2z_3$は行列式.

3次元の場合, 行列式は平行六面体の符号付き体積となっている. したがって, 四面体の体積や平行六面体の体積を求める際にわざわざ外積をとって内積をとって, などということをしなくても行列式を計算すれば一瞬で終わってしまう.

定理4. $\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1,z_1)$, $\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2,z_2)$, $\overrightarrow{AD}=(x_3,y_3,z_3)$ とする. このとき,
(三次元空間内の四点 $A$, $B$, $C$, $D$が同一平面上にある)
$\iff\det\begin{pmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{pmatrix}=0$
証明. 同一平面上にあるということはすなわち張る体積がないということで, これは行列式が0であることであった.
四点 $A(1,0,4)$, $B(-2,1,0)$, $C(1,1,1)$, $D(x,0,1)$ が同一平面上にあるとき $x$ の値を求めよ。

$\det\begin{pmatrix}-3&1&-4\cr 0&1&-3\cr x-1&0&-3\end{pmatrix}=0$を計算して $x=-8$ を得る.

ちなみに, 三次元空間内の四点が同一平面上にあることを一般的に言う際, よく一直線上にある場合を忘れて議論してしまう人が多い. 行列式はその点非常に簡明なのでオススメである.