補題1. (Bertrand の仮説)
任意の自然数 $n$ に対して, $n < p \leq 2n$ を満たす素数 $p$ が存在する.
命題2.
$n!$ が平方数となるための必要十分条件は $n=0,1$ である.
証明. 十分性は明らか. $n \geq 2$ のとき $n!$ は素因数を少なくとも $1$ つもつので, 最大の素因数 $p$ を取ってこれる. $n!$ が平方数であると仮定すると, $p$ で $2$ 回以上割れなければならないから $n \geq 2p$ である. しかし Bertrand の仮説より $p$ より大きく $n$ 以下の素数が存在するので $p$ の最大性に反する.
