(1) は微分でゴリ押す以外にはこれしか方法がないはずですが, (2) に関してはこれが一番速くて自然だと思います. 勘違いをしていたらぜひ教えて下さい.
(1) 変数 $t$ が $t>0$ の範囲を動くとき
$$\begin{aligned} f(t) &=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt{t+\frac{1}{t}+1},\\ g(t) &=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}-\sqrt{t+\frac{1}{t}+1} \end{aligned}$$
について,
$$\begin{aligned} \min f(t) &=2+\sqrt{3},\\ \max g(t) &=2-\sqrt{3} \end{aligned}$$
を示せ.
$t>0$ より相加相乗平均の不等式から
$$X\coloneqq\sqrt{t}+\dfrac{1}{\sqrt{t}}\geq2\sqrt{\sqrt{t}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{t}}}=2.$$
$t=1$ で等号が成立するので $\min X=2$.
$$f(t)=X+\sqrt{X ^ 2-1}$$
は $X\geqq2$ において単調増加なので
$$\min{f(t)}=f(1)=2+\sqrt{3}.$$
一方, $f(t)$ は常に正なので, $f(t)$ が最小になることと
$$g(t)=X-\sqrt{X ^ 2-1}=\dfrac{1}{f(t)}$$
が最大になることは同値であるから
$$\max{g(t)}=\dfrac{1}{\min{f(t)}}=2-\sqrt{3}.$$
(2) $a=\sqrt{x ^ 2+xy+y ^ 2},$ $b=p\sqrt{xy},$ $c=x+y$ とおく. 任意の正数 $x,$ $y$ $(>0)$ に対して $a,$ $b,$ $c$ を $3$ 辺の長さとする三角形がつねに存在するように, $p$ の値の範囲を定めよ.
求める $p$ の条件は, $t=\dfrac{x}{y} > 0$ とすると,
$$\begin{aligned}
&{}^{\forall}x,y > 0, \begin{cases}a < b+c\\ b < c+a\\ c < a+b\end{cases}\\
&\iff {}^{\forall}t > 0, \begin{cases}p > -g(t)\\ p < f(t)\\ p > g(t)\end{cases}\\
&\iff {}^{\forall}t > 0, g(t) < p < f(t)\\
&\iff\max g(t) < p < \min f(t)\\
&\iff\boxed{2-\sqrt{3} < p < 2+\sqrt{3}}.
\end{aligned}$$
ただし3行目で $g(t)$ が常に正であるから $g(t)>-g(t)$ が恒等的に成り立っていることを用いた.
