問題. (1999年 京大後期理系 第4問)
$\triangle{ABC}$ は鋭角三角形とする. このとき, 各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体が存在することを示せ.
注.
すべての面が合同な四面体のことを等面四面体と呼ぶ.
証明.
$\triangle{ABC}$ は鋭角三角形なので, ある正の実数 $x$, $y$, $z$ が存在して
$$\begin{cases}
2 x^{2}=AB^{2}+BC^{2}-CA^{2}>0 \\
2 y^{2}=BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}>0 \\
2 z^{2}=CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}>0
\end{cases}$$
となる. このとき
$$\begin{cases}
x ^ 2+y ^ 2=BC ^ 2 \\
y ^ 2+z ^ 2=CA ^ 2 \\
z ^ 2+x ^ 2=AB ^ 2
\end{cases}$$
が成り立つので
のような直方体が存在し, $DA=BC$, $DB=CA$, $DC=AB$ であるから, 四面体 $ABCD$ は各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体である.
のような直方体が存在し, $DA=BC$, $DB=CA$, $DC=AB$ であるから, 四面体 $ABCD$ は各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体である.
