定理1. (Markov 兄弟の不等式)
$\lVert f\rVert\coloneqq\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq1}|f(x)|$ と定め, $p$ を $n$ 次以下の多項式, $T_n(x)$ を第一種 Chebyshev 多項式とすると,
$$\lVert p^{(k)}\rVert\leqq\lVert T_n^{(k)}\rVert\lVert p\rVert$$
が成り立ち, 等号成立条件は $p=\pm T_n$ である.
証明.
Shadrin (2005) を参照.
$k=1$, $n=2$ とすると $\lVert p'\rVert\leqq 4\lVert p\rVert$ が得られます. このことを示させる問題も出題されています.
問題2. (1981年 学習院大文系)
実数 $a$, $b$, $c$ に対して $-1\leqq x\leqq 1$ において $-1\leqq ax^2+bx+c\leqq 1$ が成り立つならば, $-1\leqq x\leqq1$ において $-4\leqq 2ax+b\leqq 4$ が成り立つことを証明せよ.
問題3. (1990年 大阪教育大)
関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ は, $0\leqq x\leqq2$ において, 常に $|f(x)|\leqq M$ を満たすとする. ただし, $a$, $b$, $c$, $M$ は定数である.
(1) 各係数 $a$, $b$, $c$ を $f(0)$, $f(1)$ および $f(2)$ を用いて表せ.
(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は $0\leqq x\leqq2$ において, 常に $|f'(x)|\leqq4M$ を満たすことを示せ.
(1) 各係数 $a$, $b$, $c$ を $f(0)$, $f(1)$ および $f(2)$ を用いて表せ.
(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は $0\leqq x\leqq2$ において, 常に $|f'(x)|\leqq4M$ を満たすことを示せ.
しかし不等式だけでは芸がないので, 少し捻ってあるのが次の問題です.
問題4. (1988年 東工大 第2問)
関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ は $|x|\leqq1$ で $|f(x)|\leqq1$ を満たしている. このとき, $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ について,
(1) $|f'(1)|\leqq4$ を示せ.
(2) $|f'(1)|=4$ となる $f(x)$ をすべて求めよ.
(1) $|f'(1)|\leqq4$ を示せ.
(2) $|f'(1)|=4$ となる $f(x)$ をすべて求めよ.
(1) は不等式そのものですが, (2) は $T _ 2(x)=2x ^ 2-1$ なので等号成立条件から $f(x)$ は $2x ^ 2-1$ または $-2x ^ 2+1$ です.
参考文献
安田亨. (2003). 『入試数学伝説の良問100』. ブルーバックス.
Shadrin, A. (2005). Twelve proofs of the Markov inequality.
柳田五夫. (1992). 「チェビシェフの多項式について」. 数研通信, 17, 6–11.
