そのi鋭角の一方が $\theta$ である直角三角形i*1はすべて相似なので, 斜辺・対辺・隣辺のうち二つの辺の比は $\theta$ の関数として well-defined であり, その選び方は ${} _ {3}\mathrm{P} _ {2}=6$ 通りで $\sin$, $\cos$, $\tan$ の他に $\sec$, $\cosec$, $\cot$ と名付けられています.
まず大前提として, 接頭辞 co- は数学において双対であることを意味しますが, この場合は余角 $90\degree-\theta$ をとることに相当します. すなわち
- $\cos\theta=\sin(90\degree-\theta)$
- $\cosec\theta=\csc\theta=\sec(90\degree-\theta)$
- $\cot\theta=\tan(90\degree-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
であることが定義として理解できます. したがって, 新たに覚える必要があるのは $\sec$ だけなので, 次の式だけを暗記すれば問題ありません.
$$\sec\theta\coloneqq\frac{1}{\cos\theta}$$
覚え方の案として, sec を逆から読むと ces ≒ cos なので「読む方向も分母分子も逆にする」とするのはどうでしょうか.
ちなみに, 歴史的には他にもさまざまな三角関数が定義されていたようです.
- $\operatorname{crd}\theta=2\sin\dfrac{\theta}{2}$ (chord; 弦の長さ)
- $\operatorname{versin}\theta=1-\cos\theta$
- $\operatorname{coversin}\theta=\operatorname{versin}(90\degree-\theta)=1-\sin\theta$
- $\operatorname{vercosin}\theta=1+\cos\theta$
- $\operatorname{covercosin}\theta=\operatorname{vercosin}(90\degree-\theta)=1+\sin\theta$
- $\operatorname{haversin}\theta=\dfrac{\operatorname{versin}\theta}{2}$
- $\operatorname{exsec}\theta=\sec\theta-1$
- $\operatorname{excsc}\theta=\operatorname{exsec}(90\degree-\theta)=\cosec\theta-1$
$\operatorname{crd}\theta$ の発想自体は割と「受験数学の定石！」みたいな扱われ方をされがちな気がしますが, それにしてもわざわざ関数を定義していた時代があったのですね.
*1:このように関係節の空所に入る代名詞を再叙代名詞 (resumptive pronoun; Jespersen の用語) あるいは残留代名詞と言います.
